Consideriamo un sistema dinamico del tipo \[\dot{\mathbf{X}} = F(\mathbf{X})\]
Ricordiamo che il punto \(\mathbf{X_e}\) è configurazione di equilibrio se accade che \[F(\mathbf{X_e}) = 0\]
oppure, equivalentemente, se la funzione \(\mathbf{X}(t) = \mathbf{X_e}\) risolve l’equazione differenziale. L’equilibrio è stabile se per ogni intorno \(U\) di \(\mathbf{X_e}\) ne esiste un’altro \(V\) tale che tutte le orbite che partono al punto \(\mathbf{X_0} \in V\) al tempo \(t_0\) restano ancora contenute in \(U\); in formule,
\[\forall R > 0 \quad \exists \delta : \text{ se } ||\mathbf{X_0} - \mathbf{X_e}|| < \delta \text{ allora } || \mathbf{X}(t) - \mathbf{X_e}|| < R \quad \forall t > t_0\]
con l’accortezza di aver scelto \(\mathbf{X}(t; \mathbf{X_0}, t_0) = \mathbf{X}(t)\), cioè la soluzione \(\mathbf{X}\) che al tempo \(t_0\) vale \(\mathbf{X_0}\).
Vogliamo adesso fornire una condizione necessaria perché una data configurazione sia di equilibrio stabile. Consideriamo quindi \(\mathbf{X_e} \in \mathbb{R}^N\) configurazione di equilibrio. La seguente definizione risulta particolarmente interessante, perché misura bene, in termini energetici, quanto è lontano \(\mathbf{X}(t)\) dal punto di equilibrio \(\mathbf{X_e}\).
Definizione 1 (Funzione di Lyapunov). Una funzione di Lyapunov del sistema \(\dot{\mathbf{X}} = F(\mathbf{X})\) per il punto di equilibrio \(\mathbf{X_e}\) è una funzione
\[\Lambda : U_{\mathbf{X_e}} \rightarrow \mathbb{R}\]
tale che
\(\Lambda \in C^1(U_{\mathbf{X_e}})\)
\(\Lambda(\mathbf{X_e}) = 0\) e \(\Lambda(\mathbf{X}) > 0 \quad \forall \mathbf{X} \neq \mathbf{X_e}\)
\(\nabla \Lambda \cdot F(\mathbf{X}) \leq 0 \quad \forall \mathbf{X} \in U_{\mathbf{X_e}}\)
Tale funzione risulta dunque 1-continua, e gode di una proprietà simile a quella dei prodotti scalari per vettori in \(\mathbb{R}^n\). Inoltre, la terza proprietà fornisce un’informazione importante: svolgendo il calcolo si trova \[\sum_{i = 0}^{n} \partial_{x_i}\Lambda F_i \leq 0\]
dunque \[\sum_i \partial _{x_i} \Lambda(X(t)) \leq 0\] cioè \(\Lambda\) non cresce lungo le traiettorie soluzioni del sistema. Per rendere più evidente il fatto, possiamo vedere \(\nabla\Lambda\cdot F(\mathbf{X})\) come la derivata direzionale di \(\Lambda\) rispetto al campo \(F\); in un certo senso, \(\mathcal{L}_F \Lambda\). Ciò che vogliamo dimostrare, è che la funzione di Lyapunov stabilisce davvero una relazione tra la distanza della traiettoria dal punto di equilibrio stabile e un livello energetico del sistema.
Teorema 1 (Lyapunov). Se il sistema dinamico \(\dot{\mathbf{X}} = F(\mathbf{X})\) ammette una funzione di Lyapunov \(\Lambda\) per la configurazione di equilibrio \(\mathbf{X_e}\), tale configurazione è di equilibrio stabile.
Proof. Fissiamo un raggio \(R>0\) e consideriamo l’intorno \(U = B(\mathbf{X_e}, R)\) e la sua frontiera \(\partial U\). Tale frontiera è compatta, e per le ipotesi su \(\Lambda\) esiste \[\lambda = \min_{\partial U} \Lambda > 0\] Vogliamo determinare un intorno \(V\) come nella definizione di equilibrio stabile. La procedura cambia leggermente nel caso mono e multidimensionale.
Cerchiamo \(r< R\) il raggio di un intorno \(V = B(x_e,r) \subset U\) di \(x_e\) con la proprietà che \[\Lambda(x) < \frac{\lambda}{2} \quad \forall x \in V.\] La scelta del numero \(\lambda /2\) è in parte arbitraria: si sarebbe potuto scegliere un qualsiasi numero più piccolo di \(\lambda\). È comunque importante notare che richiedere che su \(V\) la funzione \(\Lambda\) valuti strettamente meno di \(\lambda/2\) è essenziale. Inizialmente, se \(x_0\in V\subset U\), \[\Lambda(x_0) < \frac{\lambda}{2}\] Dalla proprietà (3), la funzione \(\Lambda (x(t))\) risulta decrescente, lungo la traiettoria \(x\) soluzione del sistema, quindi \[\Lambda(x(t)) < \frac{\lambda}{2} \quad \forall t > t_0\] Poiché \(\Lambda\) è decrescente su \(x(t)\), questo implica che \(|x(t) - x_e| < r < R\).
Poiché \(\Lambda \in C^1(U)\), esiste \[0 < M = \max_{U} |\Lambda'|\]
Per Lagrange in una variabile, \[\Lambda(x) = \Lambda(x) - \Lambda(x_e) = \Lambda'(\xi)(x-x_e) \leq M|x-x_e|\] per qualche \(\xi \in (x, x_e)\) e \(\forall x \in U\).
Possiamo imporre \[\Lambda(x) \leq M|x-x_e| < \frac{\lambda}{2}\] e quindi scegliere \[r := \min \Big\{ \frac{\lambda}{2M}, \frac{R}{2} \Big\}\].
Possiamo comunque trovare \[M = \max_{U}||\nabla\Lambda||\] e possiamo ancora scrivere che \[\Lambda (\mathbf{X}) = \Lambda(\mathbf{X}) - \Lambda(\mathbf{X_e}) \leq M||\mathbf{X}-\mathbf{X_e}||\] per il teorema di Lagrange. Per cui, scelto \[r := \min \Big\{ \frac{\lambda}{2M}, \frac{R}{2} \Big\}\] è ancora verificata \[\Lambda(\mathbf{X}) \leq \frac{\lambda}{2}\] sull’intorno \(V = B(\mathbf{X_e}, r)\).
Abbiamo allora determinato il raggio \(r\) che cercavamo, in entrambi i casi. Tuttavia, resta da far vedere che \[|| \mathbf{X}(t) - \mathbf{X_e} || < r \quad \forall t > t_0\]
Consideriamo la soluzione \(\mathbf{X}(t; \mathbf{X_0}, t_0)\) del problema \(\mathbf{\dot{X}} = F(\mathbf{X})\). Supponiamo per assurdo che esista un tempo \(t^* > t_0\) per il quale \[\mathbf{X}(t^*) \not\in U\].
Allora \[\Lambda(t^*) = \Lambda(\mathbf{X}(t^*)) \geq \lambda\]
Poiché \(\Lambda(t^*) > \Lambda(t_0)\), ci aspettiamo che la derivata \(d_t \Lambda\) sia maggiore di zero, ma questo è assurdo essendo
\[0 < d_t \Lambda = \nabla \Lambda(\mathbf{X}(t)) \cdot F(\mathbf{X}(t)) \leq 0\] ◻
Se si rinforzano le ipotesi su \(\Lambda\), si ottiene una condizione necessaria per l’ equilibrio stabile anche asintoticamente.
Teorema 2 (Lyapunov forte). Siano vere le ipotesi del teorema precedente, e supponiamo inoltre che \[\nabla \Lambda \cdot F < 0 \quad \forall \mathbf{X}\in U(\mathbf{X_e})\]. Allora la configurazione \(\mathbf{X_e}\) è stabile e asintoticamente stabile, cioè \[\lim_{t\rightarrow \infty} \mathbf{X}(t) = \mathbf{X_e}\]
Proof. Consideriamo ancora la soluzione del problema \(\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}(t; \mathbf{X_0}, t_0)\). Poiché siamo certi che il punto \(\mathbf{X_e}\) è di equilibrio stabile, resta comunque vero che \(\Lambda(\mathbf{X_e}) = 0\). Ponendo come prima \(\dot \Lambda (t) = \frac{d}{dt}\Lambda(\mathbf{X}(t))\), sappiamo che \(\dot\Lambda(t) \leq 0\), il limite \[\lim_{t \rightarrow \infty} \Lambda(t) = l \geq 0\] esiste; è finito per definizione di funzione di Lyapunov.
In questo caso, \(\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{X_e}\) poiché \(\mathbf{X_e}\) è l’unico punto che annulla \(\Lambda\).
Grazie alla dimostrazione del teorema precedente, si individua un raggio \(\delta\) tale per cui se \(x \in B(\mathbf{X_e}, \delta)\) allora \(\Lambda (x) \leq \lambda/2\). Supponiamo, per assurdo, che \(\lim\Lambda(t) > 0\). Allora esiste \(t > t^*\) tale che \[\mathbf{X}(t) \not\in B(\mathbf{X_e}, \delta)\] Sia \[D = \overline{ B(\mathbf{X_e}, R) - B(\mathbf{X_e}, \delta )}\] La funzione \[\mathcal{F}(\mathbf{X}) = \nabla\Lambda \cdot F(\mathbf{X})\] risulta continua, e per ipotesi \(\mathcal{F} < 0\), dunque \[\dot\Lambda(t) \leq M = \max_{D} \mathcal{F} < 0\] e quindi \[\lim_{t \rightarrow \infty} \Lambda(t) = -\infty \neq l \in (0, +\infty)\]
◻
Il criterio di Lyapunov risulta utile per equazioni del primo ordine, ma fallisce nel caso di equazioni del secondo ordine, che sono ben più frequenti in fisica matematica. Il criterio di Dirichlet fornisce una condizione necessaria per configurazioni di equilibrio stabile per problemi al secondo ordine.
Consideriamo allora il problema
\[\ddot{q} = f(q)\]
Per questa classe di problemi sappiamo bene che l’energia potenziale del sistema è data da
\[V(q) = \frac{\dot{q}^2}{2} + E\]
Allora,
Teorema 3 (Dirichlet). \(q_e\) è una configurazione di equilibrio stabile se \(q_e\) è un minimo isolato della funzione potenziale \(V(q)\).
Proof. Supponiamo che \(q_e\) sia minimo isolato di \(V\). Consideriamo il problema equivalente
\[\begin{cases} \dot q = v \\ \dot v = -V'(q) \end{cases}\]
Nel piano delle fasi, i punti di equilibrio sono tutti quelli tali che \(\dot{q} = 0 = v\). Cerchiamo una funzione di Lyapunov per il problema \[\begin{pmatrix} \dot q \\ \dot v \end{pmatrix} = F(q, v) = \begin{pmatrix} v \\ -V'(q)\end{pmatrix}\]
Se ne riconosce una, data dalla formula
\[\Lambda(q, v) = \frac{v^2}{2} + V(q) - V(q_e) = E - V(q_e)\]
che rispetta tutte le proprietà di funzione di Lyapunov. Infatti
È 1-continua, essendo \(V\) tale.
È evidente che \(\Lambda(q_e) = 0 + V(q_e) - V(q_e)\). Quanto alla seconda proprietà, basta osservare che \[\Lambda(q, v) = \frac{v^2}{2} + V(q) - V(q_e)\] è somma di termini positivi, con \(v^2\) positivo e non nullo e \(V(q) - V(q_e)\) positivo, essendo \(q_e\) minimo isolato per \(V\).
Si ha subito \[\nabla\Lambda = \begin{pmatrix} \partial _q \Lambda \\ \partial _v \Lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V'(q) \\ v \end{pmatrix} \quad F = \begin{pmatrix} v \\ -V \end{pmatrix}\] quindi \[\nabla \Lambda \cdot F = \begin{pmatrix} V'(q) \\ v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v \\ -V'(q) \end{pmatrix} = 0\]
◻
Operativamente, la ricerca di punti di equilibrio stabile di un sistema dinamico nel secondo ordine del tipo
\[\ddot{q} = f(q)\]
si riconduce alla ricerca di minimi isolati per la funzione \(V\). La procedura può essere generalizzata a sistemi più complessi, come
\[\begin{cases} \ddot q_1 = f_1(q_1, q_2, \dots q_n)\\ \vdots\\ \ddot q_n = f_n(q_1, q_2, \dots q_n)\\ \end{cases}\] In questo caso, bisogna richiedere che esista una funzione \(V(\mathbf{q})\) con la proprietà che
\[\begin{pmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}(\mathbf{q}) = -\nabla V = \begin{pmatrix} -\partial_{q_1} V \\ \vdots \\ -\partial _{q_n} V \end{pmatrix}\]
La dimostrazione del teorema di Dirichlet è analoga, con la scelta di \(\Lambda\) come
\[\Lambda(\mathbf{v}, \mathbf{q}) = \frac{|| \mathbf{v}||^2}{2} + V(\mathbf{q}) - V(\mathbf{q_e})\]
avendo posto
\[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \dot q_1 \\ \vdots \\ \dot q_n \end{pmatrix}\]