La prova dura un’ora e non è consentito l’uso della calcolatrice. Cercate di giustificare correttamente tutti i passaggi con linguaggio corretto e spiegazioni sintetiche. Ciascun esercizio vale dieci punti. La prova è sufficiente se viene raggiunto un punteggio superiore a 30.

1. Considerare la conica \(Q\) di equazione \[4x^2+21y^2 = 85\] Di che conica si tratta? Determinare la posizione reciproca tra la conica \(Q\) e la retta \(R\) di equazione \[2x - 9y-17=0\]

2. Determina i coefficienti reali \(a, b, c\) della parabola \(y=ax^2+bx+c\) passante per i punti \(A=(1, 2)\) e \(B=(3, 0)\) e tangente alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Tale parabola interseca l’asse delle \(x\)? Se sì, in quali punti?

3. Considerare le seguenti equazioni

   • \(y^2-2y+x^2-2x=2\)

   • \((x-1)^2 -2y = 19-y^2\)

   Dopo aver verificato che entrambe descrivono circonferenze, determinarne il centro e il raggio, e verificare che hanno lo stesso centro. Successivamente, calcolarne l’area, e determinare l’area del settore circolare da loro individuato.

4. Studiare dominio e segno della seguente funzione \[f(x) =\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{x^2-2x}\ \] Studiare quindi dominio e segno di \[g(x) = \frac{1}{4^x + 2} + \frac{1}{4^x - 2^{x+1}}\]

5. Considerare la retta \(\alpha : y+x+1=0\). Determinare la distanza di tale retta dal punto \((3, 3)\). Scrivere l’equazione della circonferenza di centro \((3, 3)\) e tangente alla retta \(\alpha\).

6. Quesito bonus. Considerare il fascio di rette \[kx+(2+k)y-3+k = 0\] Stabilire per quali valori di \(k\) si ottiene una retta...

   1. parallela all’asse \(y\),

   2. passante per il punto \((-1, 2)\),

   3. parallela alla retta di equazione \(2x-3y+1=0\)

   4. perpendicolare alla retta di equazione \(2x -y-2=0\)