La prova dura un’ora e non è consentito l’uso della calcolatrice. Cercate di giustificare correttamente tutti i passaggi con linguaggio corretto e spiegazioni sintetiche. Ciascun esercizio vale dieci punti. La prova è sufficiente se viene raggiunto un punteggio superiore a 30.

1. Risolvere il seguente sistema. \[\begin{cases} |x^2+4x|<5\\ 2+\sqrt{3x+16}>x \end{cases}\]

2. Determinare dominio e segno della seguente funzione. \[f(x) = \frac{2(x^8+2)}{x^3-6x+9x}\] Osserva che la funzione è prodotto di \(2\), \(x^8+2\) e \(x^3-6x^2+9x\), e quindi il segno dipende soltanto dal segno di ciascun membro.

3. Per quale valore di \(k \in \mathbb{R}\) l’equazione \[(3k+6)x^2 + 3y-6k=0\] rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse delle \(y\)?

   1. soltanto per \(k=1\)

   2. \(k \neq 6\sqrt{3}\)

   3. \(\forall k\ \in \mathbb{R}\)

   4. \(\nexists k \in \mathbb{R}\)

   5. soltanto per \(k = 0\)

   Successivamente, determinare, se possibile,

   1. il valore che \(k\) deve assumere perché la parabola passi per il punto \((1, 1)\).

   2. il valore che \(k\) deve assumere perché la parabola passi per il punto \((\sqrt2, 9)\).

   Motivare opportunamente le risposte.

4. Determinare l’equazione di...

   1. una circonferenza che passa per i punti \((0, 1)\), \((0, -1)\) e \((1, 0)\).

   2. una circonferenza che passa per \((0, 1)\), \((0, -1)\) ma non \((1, 0)\).

   3. una ellisse con fuochi sull’asse \(y\) e semiassi di lunghezza \(2\) e \(7\).

   4. una circonferenza passante per i punti \((1, 1)\), \((0, 1)\), \((0, 0)\).

5. Risolvere, quando possibile, le seguenti equazioni esponenziali.

   1. \(4^x=2\sqrt2\)

   2. \((\sqrt{2})^x+(\sqrt{8})^{x-1}=2(\sqrt{2}+1)\)

   3. \(2^{x+1}+2^{3-x}=17\)

6. Quesito bonus (facoltativo). Dare una definizione di funzione. Fornire un esempio di funzione biettiva, e dire per quali valori di \(\alpha\) la seguente funzione risulta biettiva. Ricordare che una funzione strettamente crescente è biettiva. \[f_\alpha(x) =x^{\alpha -3}+5x+\alpha\]