La seguente prova è di carattere più teorico ed è adatta a licei scientifici o analoghi. Sono inclusi suggerimenti o soluzioni, appena dopo il testo dell’esericizio.
La prova dura due ore e non è consentito l’uso della calcolatrice. Cercate di giustificare correttamente tutti i passaggi con linguaggio corretto e spiegazioni sintetiche.
Dire per quali valori di
\(x\in\mathbb{R}\) la
seguente disequazione è vera
\[\sqrt[3]{x+4} \geq 0\]
Se invece si considera
\(\sqrt{x+4}\), il
risultato cambia significativamente? Perché? Data allora la
seguente funzione
\[f(x) = \frac{\sqrt[3]{x+4}}{|5x-6|+\sqrt{x^2
+3}}\]
studiarne dominio e segno.
Suggerimento. La prima disequazione è vera per ogni \(x \geq 4\), e il radicando non ha problemi di definizione. La seconda espressione, \(\sqrt{x+4}\) esiste soltanto per le \(x \geq 4\). Per tali valori, l’espressione è sempre positiva, dunque per \(x\geq 4\) le due radici hanno lo stesso segno. Il denominatore della funzione \(f\) è sempre positivo ed è somma di addendi positivi, dunque si annulla soltanto se entrambi sono zero. Allora, possiamo dire che... ◻
Scrivere l’equazione della retta \(\beta\) perpendicolare alla retta \(\alpha:y=2x+1\) passante per l’origine. Calcolare la distanza di tale retta dal punto \((1, 1)\). Calcolare la lunghezza della corda staccata da \(\beta\) sulla parabola di equazione \(y = x^2-1\).
Suggerimento. Ricordiamo che la distanza di un punto da una retta \(\beta\) è la lunghezza del segmento individuato di punti \((1, 1)\) e il punto di intersezione con \(\beta\) e la retta a lei ortogonale passante per \((1, 1)\). ◻
Il luogo geometrico \(\mathcal{Q}\) dato dall’equazione \[\mathcal{Q} : 16y^2 + 12y =-4x^{2}-16x\] individua una conica. Di che conica si tratta? Quali sono i suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani? Scrivere poi l’equazione della circonferenza con centro in \((1, 1)\) e diametro \(2\sqrt{2}\), fare un disegno di massima del problema e determinare i punti di intersezione con \(\mathcal{Q}\).
Soluzione. La conica \(\mathcal{Q}\) è una circonferenza, e diventa evidente spostando tutto ad un unico membro dell’equazione. Tale circonferenza contiene l’origine e ha il centro nel terzo quadrante, mentre la seconda contiene anch’essa l’origine, ma il suo centro appartiene al primo quadrante. Il disegno di massima aiuta a concludere che l’unico punto di intersezione è l’origine. ◻
Se si considera una circonferenza
\(\mathcal{C}\) nel piano e
si considerano tutte le rette orizzontali, esiste un
intervallo di valori
\(k \in \mathbb{R}\) per i
quali le rette
\(y = k\) intersecano tutte
la circonferenza. Il valore più grande di tale intervallo
determina una retta tangente alla circonferenza in un punto
\(N\) che chiamiamo "polo
nord". Analogamente, il valore minimo determina un punto
sulla circonferenza detto "polo sud", che denoteremo con la
lettera \(S\).
Dire se la seguente equazione determina una circonferenza
\[\mathcal{C}: x^2 - 10x +y^2-2y = -24\]
In caso affermativo determinarne polo nord e sud e
determinare una parabola concava con vertice il polo nord di
\(\mathcal{C}\) e passante
per il punto \((0, 9)\).
Soluzione. \(\mathcal{C}\) è una circonferenza e tale fatto si deduce dalla semplice verifica che \(a^2 + b^2 -4c \geq 0\). Il centro della circonferenza \(\mathcal{C}\) può essere trovato in due modi: o si completa il quadrato (semplice in questo caso), oppure si applica la formula del centro della circonferenza nota. L’equazione della circonferenza \(\mathcal{C}\) è equivalente a \[x^2-10x+25-25+y^2-2y+1-1=-24\] cioè \[(x-5)^2 + (y-1)^2=2\] quindi la circonferenza di raggio \(\sqrt{2}\) e centro \((5, 1)\). Il polo nord e sud della circonferenza sono in realtà i punti di intersezione della retta impropria parallela all’asse \(y\) passante per il centro, ottenuti mettendo a sistema le due equazioni
\[\begin{cases} x=5 \\ (x-5)^2+(y-1)^2 = 2 \end{cases}\]
che si risolve sostituendo direttamente il valore di \(x\) nella seconda equazione, e ottenendo l’equazione \(y^2 -2y-1=0\), con soluzioni \[y_1,y_2 = 1\pm\sqrt{2}\]. Dunque \(N=(5, 1+\sqrt2)\) e \(S=(5, 1-\sqrt2)\). L’equazione della parabola richiesta si trova imponendo che il vertice \((-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})\) abbia le coordinate cercate. In particolare, i coefficienti \(a,b,c\) della parabola devono soddisfare \[\begin{cases} a>0 \\ -\frac{b}{2a}=5 \\ -\frac{b^2- 4ac}{4a} = 1+\sqrt2 \\ a\cdot0+b\cdot 0+c = 9 \end{cases}\] che si traduce direttamente nel risolvere \[\begin{cases} b = -10a \\ b^2 - 36a = -4a(1+\sqrt{2}) \end{cases}\] ◻
Considerare il fascio di parabole dipendente dal parametro \(m\) dato da \[\gamma_m : y = 2^{m+5}x^2 + 4x + 4^m\]. Dire per quali valori di \(m\) la parabola \(\gamma_m\) ha una sola radice o soluzione. Se il calcolo è agevole, determinare le soluzioni esatte nel caso in cui \(m = -3\), oppure darne una stima numerica approssimativa.
Soluzione. Chiedere per quale valore di \(m\) la parabola \(\gamma_m\) abbia un’unica soluzione equivale a richiedere che \(\Delta = 16-4\cdot 2^{m+5}\cdot 4^m = 0\), cioè a risolvere l’equazione esponenziale \[2^2 \cdot 2^{m+5} \cdot 2^{2m} = 2^{7 + 3m} = 16 = 2^4\]. Tale condizione è verificata quando \(7+3m =4\), quindi \(m=-1\). Per \(m=-3\) bisogna risolvere l’equazione \(4x^2 + 4x - \frac{1}{4^3} = 0\). ◻
Rispondere alle seguenti domande in maniera sintetica, fornendo eventualmente esempi.
Come viene definito il vertice di una parabola?
Qual’è la definizione di funzione? Sapresti dare un esempio di funzione iniettiva? La funzione \(f(x) = x^2\) è biettiva?
L’equazione \[y^2 + x^2 + ay+bx+c = 0\] determina sempre l’equazione di una circonferenza al variare dei parametri \(a\), \(b\) e \(c\) reali? Per quale motivo? In caso negativo, fornire un controesempio (cioè un esempio di un luogo geometrico descritto dalla precedente equazione che non sia una circonferenza: bisognerà scegliere dei valori opportuni di \(a\), \(b\) e \(c\)).