Risolvere le seguenti equazioni. \[(x-1)^4 - (x-1)^3 + (x-1)^2 = 0; \quad (x+1)\sqrt{x-1} - \frac{x+1}{\sqrt{x-1}} = 0\] \[\sqrt{7}x^2 + 3\sqrt{7}x = \frac{1+\sqrt{7}x}{1-\sqrt{7}x} \quad |x - 1| \cdot |x + 1| = |x^2 + 1| \quad |x^2 - 3x| \leq x^2 - x\]
Risolvere le seguenti disequazioni. \[\frac{x^4 -5x^2 + 25}{|x^2 + 1|} < 0; \quad \frac{3x^2 - 5}{{x^2 + 1}} > 0; \quad \frac{x + \sqrt{x} + 1}{4} > 5;\]
\[\quad \frac{(x^2 - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \geq 0; \quad \frac{\sqrt{x+1}}{3} \leq x + 1\]
Risolvere il seguente sistema di disequazioni
\[\begin{cases} |x + 2| \leq 2(x-2)\\ \sqrt{x+2} \leq 2(x+2) \end{cases}\]
Considerare le seguenti funzioni. Per ciascuna di esse, dire se \(x = 1\) appartiene al dominio, e in caso positivo determinarne l’immagine. \[f(x) = x^2 + 3\frac{1}{\sqrt{2x}} \quad g(x) = x^2 + 3\frac{1}{\sqrt{2x-2}} \quad h(x) = \frac{1}{x^7 -2x^6 + x^5}\]
Considerare la funzione \[f(x) = \frac{1 + x}{1 - x}.\] Dopo averne determinato dominio e segno e aver rappresentato su un grafico dette informazioni, determinare la retroimmagine (o controimmagine) di \(5\).
Per ciascuno dei prossimi esercizi, può aiutare fare un disegno di massima del problema: per esempio, può essere utile individuare il quadrante di ciascun punto, oppure capire se la retta descritta è crescente o decrescente, quale sia la sua ordinata, et cetera.
Calcolare l’asse del segmento individuato dagli estremi \((1, 3)\) e \((-1, 2)\).
Disegnare sul piano le rette di equazione \(y + x + 1 = 0\) e \(y - x -2 = 0\). Trovare il loro punto di intersezione, se esiste.
Dopo aver verificato che il punto \(A = (3, 1)\) non appartiene alla retta di equazione \(r : y = \sqrt{2}x + 1\), trovare la retta ad essa perpendicolare, e passante per il punto \(A\). Trovare poi la retta parallela a \(r\) e passante per il punto \(A\).
Determinare l’equazione della retta \(r\) che contiene il segmento individuato dagli estremi \((1, 4)\) e \((0, -1)\).
Calcolare la distanza del punto \((1, 1)\) dalla retta \(y = 2x + 1\).
Considerare il fascio di rette dipendente dal parametro \(k\) descritto dall’equazione \[y = 4x + kx + k(x-1)\] e dire per quali valori di \(k\) si ottiene una retta con intercetta nulla. Fornire, se esistenti, un valore di \(k\) per ottenere una retta parallela all’asse \(x\), e un valore di \(k\) per una parallela all’asse delle \(y\).
Determinare il punto di intersezione della retta \(y = -3x + 7\) con la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Considerate le seguenti parabole.
\[y = x^2 + 3x + 2; \quad y= -4x^2 + x + 1; \quad x^2 = x + \sqrt{2}y -1\]
\[x^2 + 4y = 0; \quad \frac{x^2 + y}{\sqrt{3}} = 0; \quad x^2 = -6y\]
Per ciascuna di queste, determinarne il vertice e il fuoco. Dire poi se l’asse di simmetria si trova nel semipiano delle \(x\) positive o negative. Calcolare successivamente l’equazione della direttrice e dell’asse di simmetria.
Calcolare i coefficienti \(a, b, c\) della parabola di equazione \(y= ax^2 + bx + c\) ottenuta dalla translazione della parabola di equazione \[y = -4x^2\] del vettore \(\vec v = (1,2)\).
Sia \(K = 3\), e siano definiti i punti \(A = (K+1, K)\), \(B= (K, -K + 2)\) e \(B = (K-1, K)\). Calcolare l’equazione della parabola passante per i punti \(A\), \(B\) e \(C\).
Sia \(A = (1, 6)\) un punto sul piano, e considerate la retta di equazione \[r: y = 2x - 1.\] Determinare l’equazione della parabola tangente a \(r\) e passante per il punto \(A\) assegnato.
Determinare la lunghezza della corda staccata dalla retta \[y + x + 1 = 0\] sulla parabola di equazione \[(x+4)^{2}+y=3\]
Scrivere in forma \[x^2 + y^2 + ax +by + c = 0\] l’equazione della circonferenza di centro \(C = (1, 1)\) e raggio \(\sqrt{2}\).
Per le seguenti equazioni, dire se si tratta di circonferenze, e in caso positivo dire in quale quadrante si trova il loro centro. \[x^2 + y^2 -10x + 2y = 1; \quad 3x + x^2 + 2y + y^2 = 1; \quad x^2 + y^2 + x + y + 5 = 0;\]
Considerate la circonferenza di equazione \[x^2 - x = y - y^2\] Date le seguenti rette, dite quali di queste sono secanti, tangenti o esterne alla circonferenza data. \[y -x +1 = 0; \quad x = \frac{y}{2}; \quad \sqrt{2} - y = \sqrt{3} + x\]
Determinare i coefficienti \(m\) e \(q\) della retta \[y = mx + q\] tangente alla circonferenza \((y - 1)^2 + (x-1)^2 = 4\) e passante per il punto \(T = (-2, -2)\).
Determinare l’equazione di una circonferenza che passa per i punti \((2, 2)\), \((4, 1)\), \((4, 4)\).
La traiettoria che percorre la Terra intorno al Sole è una curva ellittica. Uno dei due fuochi dell’ellisse è occupato dal Sole. Supponiamo che la distanza massima tra la Terra e il Sole sia \(D\) e che la distanza minima tra Terra e Sole sia \(d\). Fornire le formule per
La lunghezza dei due semiassi dell’ellisse.
La distanza tra il Sole e il centro dell’ellisse.
L’eccentricità dell’ellisse.
Fornire quindi i risultati numerici, sapendo che \[d = 147\cdot 10^6km \quad D = 152\cdot 10^6 km\].
Consideriamo l’ellisse di equazione \[\frac{y^2}{32} + \frac{x^2}{16} = 1\] Calcolare l’area del triangolo individuato dall’origine degli assi, un fuoco e un vertice dell’asse \(y\).
Calcolare l’eccentricità dell’ellisse \[\frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{2} = 1\] e dire se è maggiore o minore di \(\sqrt{2}\).
Quanto misura il semiasse maggiore di un ellisse con semiasse minore \(1\) e distanza focale \(3\)?
Trovare l’equazione dell’ellisse con fuochi sull’asse \(x\) con eccentricità \(0.21\) e asse orizzontale \(14\).
I prossimi esercizi, risultano talvolta più semplici da risolvere che da scrivere. Non fatevi spaventare dalle brutte espressioni... anche mantenere la calma davanti a esercizi complessi (ma non difficili) è un utile esercizio!
Per ciascuna delle seguenti equazioni, risolvere anche la disequazione associata, col segno indicato in parentesi.
\[3^x = -1 \quad(\leq) \quad(\geq)\] \[3^x -1 = 0 \quad(\leq) \quad(\geq)\] \[5^x + 25^{\frac{x}{2}} - 5^6 = 1 \quad (>)\] \[4^{|x-5|} = 3 \quad (\leq)\] \[81^x - (\sqrt{3})^{-3x} = 27^{6x+1-7x^2}\quad (\geq)\]
Determinare il dominio delle seguenti funzioni. \[f(x) = (2-\sqrt{2})^{|x^3 + x^2|} \quad g(x) = (e-\sqrt{3})^{3ex - x + 5\sqrt{x+1}}\]
Sia \(x \in \mathbb{R}\). Dire per quali valori del parametro \(\alpha\) sono definite le seguenti espressioni. Ancora, prima di iniziare a svolgere inutili conti, ragionare sul segno di \(\alpha\). \[(e - \sqrt{\alpha})^x; \quad \left( \alpha^4 + \sqrt{\alpha^2 + 13}\right) ^ {x}; \frac{(2+ \alpha)^{x} + (2 - \alpha)^{-x}}{2^3}\]
Risolvere le seguenti disequazioni.
\[4 \cdot {4^{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}} > 4^{x+1}\] \[3^{\sqrt{x}} - 81^{x} + 3 \leq 0\] \[\frac{6^x + 36^x + 216^x}{6} \geq 0\] \[x2^x - 4x \geq 0\]
Per calcolare le soluzioni di una equazione al computer, è necessario fornire al calcolatore gli estremi di un intervallo dove l’utente è sicuro di trovare una soluzione. Tali metodi funzionano fornendo un intervallo (detto di confidenza) per ciascuna soluzione. Risolvere graficamente le seguenti equazioni, dire quante soluzioni ammettono, e fornire un intervallo di confidenza per le soluzioni.
\[-x^2 + 2 = 4^x\]
\[x+e = e^x\]
\[e^x = -x\]