Esercizi sui radicali

I seguenti esercizi sono tratti in gran parte dal libro di testo Matematica.verde, Bergamini e Barozzi, seconda edizione.

1. Calcolare le seguenti radici, quando possibile. Motivare sinteticamente le risposte.

\[\sqrt{\frac{(-1)^3}{(-1)^2}} \quad \sqrt{-(-4)^2} \quad \sqrt[3]{-(-3)^3} \quad \sqrt[3]{\frac{1}{64}}\]

2. Semplificare le seguenti espressioni, usando le proprietà dei radicali.

\[\sqrt[3]{1 + \sqrt{36} + \sqrt[3]{-8} + \sqrt{(-3)^2}} \quad \sqrt{\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{-[-(-4)^2]}}\]

\[ \sqrt{8} \quad \sqrt[12]{2^{18}} \quad \sqrt[3]{81} \quad \sqrt{\frac{9}{2}(2a-5)}\] \[ (4 + \sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2} - 1)^2 - 12\sqrt{2}\] \[ \frac{(2\sqrt{5} + 1)(3\sqrt{5} - 1) - \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})}{2} \] \[ \frac{\sqrt{7} + 1 - 9\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2\sqrt{49}} + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{7}}{1 - \sqrt{7}}} \]

Nei seguenti radicali compare una incognita. Semplifica le espressioni, dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

\[ \sqrt{x^2 - 6x + 9} \quad \sqrt{a^2 - 8a^2 + 16} \quad \sqrt{x^4 - 6x^2 + 9} \quad \sqrt[8]{\frac{a^4 (a-5)^4}{a^2 + 5a + 25}}\]

3. Determinare per quali valori di \(x \in \mathbb{R}\) esistono i seguenti radicali.

\[ \sqrt{3a + 3} \quad \sqrt[3]{x+5} \quad \sqrt[4]{2x-1} \quad \sqrt{a^2-1}\]

\[ \sqrt{\frac{4x^2 - 12x + 9}{5x}} \quad \sqrt{\frac{(x-2)(x+3)}{x^2 -16}} \quad \sqrt[4]{\frac{2(x^2 + 1)}{x+1}}\]

4. Semplificare, fornendo come soluzione una sola frazione razionalizzata.

\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1} + \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5} + 1} - \sqrt{10}/4 \]

\[ \frac{3\sqrt{a} -1}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{9a}-1}{\sqrt{a}^4+1} + 1\]

5. Risolvere il seguente sistema lineare

\[ \begin{cases} \sqrt{15}y + \sqrt{9}x = 0\\ \sqrt{5}y - \sqrt{3}x = \sqrt{3} + \sqrt{5}y \end{cases} \]